Обработайте событие SelectedIndexChange в раскрывающемся списке вашего университета. В этом обработчике событий найдите свой список преподавателей для выбранного университета. Перебирайте результаты и добавляйте элементы списка в выпадающий список факультетов.
protected void UniversityDD_SelectedIndexChanged(object sender, EventArgs e)
{
FacultyList = GetFaculty(UniversityDD.SelectedValue);
foreach(Faculty faculty in FacultyList)
FacultyDD.Items.Add(new ListItem(facultyDisplay, facultyValue));
}