Объявите и используйте эталонное значение.
onLoadEnd() {
this.webview.postMessage("yourmessage");
}
<WebView
ref={webview => (this.webview = webview)}
onLoadEnd={() => this.onLoadEnd()}
...
/>
Ваш webview_uri должен иметь приемник сообщений, такой же, как у React-native.
пример веб-страницы
document.addEventListener("message", function(event) {
console.log("Received post message", event);
logMessage(event.data);
}, false);