Вы делаете все утверждение динамическим, как:
DECLARE @s varchar(max)
SET @s = 'INSERT INTO dbo.Table_1 EXEC ( ''' + @mySQL + ''' ) AT Linked_Server_1'
EXEC( @s )
Вам может понадобиться экранировать любые апострофы в переменной @mySQL. Это становится сумасшедшим:
DECLARE @s varchar(max)
SET @s = 'INSERT INTO dbo.Table_1 EXEC ( ''' + replace(@mySQL, '''', '''''') + ''' ) AT Linked_Server_1'
EXEC( @s )