Чтобы исправить эту проблему, я добавил новую задачу сценария и открыл внутри нее слепок.
Я установил пакет Microsoft.AspNet.WebApi.Client, а затем из этого пакета добавил в мой GAC библиотеки System.Net.Http и Newtonsoft.Json.
После этого я ссылался на эти новые библиотеки из того места, в которое он их добавил, и это исправило проблему.
Это будет работать, только если вы сможете установить dll в GAC на сервере / компьютере, на котором работает пакет служб SSIS.