Я не понимаю, как вы воспроизводите видео YouTube в своем приложении. Я предполагаю, что вы используете WebView? Если это так, я рекомендую использовать следующий код в вашем приложении, чтобы получить URL.
String getUrl = webView.getUrl();
myTextView.setText(getUrl);
или
myTextView.setText(webview.getUrl());