Нахождение условных и совместных вероятностей из моделирования

Question

Рассмотрим цепочку Маркова с пространством состояний S = {1, 2} и переходной матрицей

и начальное распределение α = (1/2, 1/2) .

Предположим, исходный код для симуляции следующий:

alpha <- c(1, 1) / 2
mat <- matrix(c(1 / 2, 0, 1 / 2, 1), nrow = 2, ncol = 2) 

chainSim <- function(alpha, mat, n) 
{
  out <- numeric(n)
  out[1] <- sample(1:2, 1, prob = alpha)
  for(i in 2:n)
    out[i] <- sample(1:2, 1, prob = mat[out[i - 1], ])
  out
}

Предположим, что следующее является результатом пятиэтапного моделирования цепочки Маркова, повторенного 10 раз:

> sim
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,]    2    1    1    2    2    2    1    1    1     2
[2,]    2    1    2    2    2    2    2    1    1     2
[3,]    2    1    2    2    2    2    2    1    2     2
[4,]    2    2    2    2    2    2    2    1    2     2
[5,]    2    2    2    2    2    2    2    2    2     2
[6,]    2    2    2    2    2    2    2    2    2     2

Какими будут значения следующих?

1. P (X ₁ = 1, X ₃ = 1)

2. P (X ₅ = 2 | X ₀ = 1, X ₂ = 1)

3. Е (Х _{2 * +1048 *) * ** 1050 тысяча сорок девять ** * 1 051}

Я пробовал их следующим образом:

1. mean(sim[4, ] == 1 && sim[2, ]== 1)
3. c(1,2) * mean(sim[2, ])

Что будет (2)? Я в порядке с остальными?

Пожалуйста, объясните ваш ответ.

Answer 1

Вы почти правы относительно 1: есть разница, используете ли вы && или &, см.

?`&&`

Это должно быть

mean(sim[1 + 1, ] == 1 & sim[1 + 3, ] == 1)

Тогда 2 - этозадается

mean(sim[1 + 5, sim[1 + 0, ] == 1 & sim[1 + 2, ] == 1] == 2)

, где вы можете получить NaN в случае, если условное событие {X ₀ = 1, X ₂ = 1} не имеетt появляется в вашей симуляции.

Наконец, точка 3 равна

mean(sim[1 + 2, ])

, поскольку естественная оценка ожидаемого значения - это просто выборочное среднее.

Answer 2

1. Воспользуйтесь преимуществом структуры проблемы, состояние 2 является поглощающим состоянием.Единственный способ для X ₁ = 1 и X ₃ = 1 , если он начинается с 1 и на каждом промежуточном шаге, онпродолжайте посещать состояние 1. Следовательно, ответ будет (0,5) ⁴ = 0,0625 .

С точки зрения симуляции, а не

mean(sim[4, ] == 1 && sim[2, ]== 1

Это должно быть

mean(sim[4, ] == 1 & sim[2, ]== 1

&& проверять только первый компонент.

Для второй части одним из возможных способов является отметить, что

P (X ₅ = 2 | X ₀ = 1, X ₂ = 1) = P (X ₅ = 2, X ₀ = 1, X ₂ = 1) / P(X ₀ = 1, X ₂ = 1)

, из которых вы можете сначала оценить числитель и знаменатель отдельно, а затем вычислить соотношение,

В качестве альтернативы, P (X ₅ = 2 | X ₀ = 1, X ₂ = 1) = P (X ₅ = 2 | X ₂ = 1) = P (X ₃ = 2 | X ₀ = 1)

Что касается третьего вопроса, E (X ₂ ) - это одно число, а не вектор.Это можно оценить как mean(sim[3,])