Вы хотите визуализировать каждую ветвь, а не одну и ту же @head
снова и снова:
<%= render(partial: "branch", object: @head) %>
Тогда частичное выглядит так:
<%= branch.name %>
<% branch.children.each do |child|%>
<%= render( partial: "branch", head: child)%>
<% end %>
Имя частичногоИмя переменной, представляющей содержимое.