Вы можете вручную создать подписку на свой магазин и сохранить изменения в localStorage, а также использовать потенциальное значение в localStorage в качестве значения по умолчанию.
Пример
<script>
import { writable } from "svelte/store";
const store = writable(localStorage.getItem("store") || "");
store.subscribe(val => localStorage.setItem("store", val));
</script>
<input bind:value={$store} />