найти периодичность модульной функции

Question

Я создал свою собственную версию фрактала (которая фактически использует тот же принцип, что и пифагорейское дерево).

Если вы хотите узнать, что это дает, вы можете совершить небольшую экскурсию здесь.

    var myCanvas = document.getElementById('cnv');
    var ctx =  myCanvas.getContext('2d');
    myCanvas.style.backgroundColor =  "rgba(0, 0, 0, 0.1)";

Моя функция рисования вот так.

  function draw(x, y, len, angle) {
    ctx.beginPath();
    ctx.save();
    ctx.translate(x, y);
    ctx.rotate((angle * Math.sin(len)) );
    ctx.moveTo(0, 0);
    ctx.lineTo(0, -len);
    ctx.stroke();  
    ctx.strokeStyle = "grey";

    if(len < 1) {
      ctx.restore();
      return;
    }  
    var slider = document.getElementById("myRangeAngle");
    slider.oninput =  function() {
      var  p = document.getElementById('p');
      p.innerHTML = "L'angle : " + slider.value;
      ctx.clearRect(0, 0, 1366, 900);      
      draw(550,578,120,0);
    }
   draw(0, -len, len*0.7, - slider.value);
   draw(0, -len, len*0.7, slider.value);
   ctx.restore();
  }

  draw(550,578,200,0);

https://codepen.io/m-metore/pen/Mxvqdq

Вот моя проблема. У меня есть итерационная функция, U0 = 200;A + 1 = A * 0,7

или Un = U0 * 0,7 ^ n.

Затем я умножаю свой угол x в (рад) на следующую формулу:

f (x) = x * sin (Un).

Мой вопрос: есть ли целое число x, для которого (fx) дает целое число.

Другими словами, мы должны решить x * sin (U0 * 0,7 ^ n) = 2 * PI;(где x и n - целые числа), и мы ищем x (которое является целым числом). Я указываю, что U0 = 200;

Я не думаю, что существует такой x, что это уравнение истинно.Ты хоть представляешь, как это доказать?

спасибо

Answer 1

в соответствии с теоремой Линдеманна-Вейерштрасса sin (200 * O.7 ^ n) является трансцендентным числом https://planetmath.org/proofoflindemannweierstrasstheoremandthateandpiaretranscendental, поэтому я должен показать, что arcsin (2 * PI / x) является иррациональным числом.

Лучший способ сделать это - попробовать k (во всяком случае, вам не нужно большое k).

на самом деле я хочу продемонстрировать для всех чисел k, что этоЗачем.Спасибо за вашу помощь!