Хотя описание не очень понятно, но я понял, что вы хотите изменить цвет фона макета активности на основе некоторых совпадений данных JSON с сервера и локального хранилища. Я предполагаю, что данные JSON хранятся где-то в локальном файле.
Вы можете использовать периодический вызов или FCM для синхронизации вашего JSON. В любом случае, когда вы получаете JSON с сервера, получите сохраненный JSON из файла. Далее необходимо использовать сравнение строк (если нужно изменить цвет BG только на основе изменения JSON). Или вы можете получить код цвета с сервера JSON (если код цвета получает с сервера в качестве атрибута в ответе JSON) и сравнить его с кодом цвета из файла JSON и изменить BG своего макета активности. Дайте мне знать, если у вас возникнет еще какая-то путаница.