Вы должны использовать @contextmenu на узлах дерева.
Я пытался добиться того, что вы пытались.https://codepen.io/anon/pen/QPoYOQ?editors=1010#anon-login
Но чтобы дерево выглядело хорошо, вам нужно сделать некоторые настройки CSS.Я не уверен, что какой-либо элемент, кроме v-btn или v-card, принимает обработчик событий @contextmenu.
<div id="app">
<v-app id="inspire">
<v-treeview v-model="tree" :open="open" :items="items" activatable item-key="name">
<template v-slot:label="{item, open, selected}">
<v-btn flat @contextmenu="show">
<!--button icon-->
<v-icon v-if="!item.file">
{{ open ? 'mdi-folder-open' : 'mdi-folder' }}
</v-icon>
<v-icon v-else>
{{ files[item.file] }}
</v-icon>
<!--button text-->
{{item.name}}
</v-btn>
</template>
</v-treeview>
<v-menu v-model="showMenu" :position-x="x" :position-y="y" absolute offset-y>
<v-list>
<v-list-tile v-for="menuItem in menuItems" :key="menuItem" @click="clickAction">
<v-list-tile-title>{{menuItem}}</v-list-tile-title>
</v-list-tile>
</v-list>
</v-menu>
</v-app>
</div>