В приведенном выше коде вы не указываете какой-либо тип файла, который может быть проблемой, это должно быть что-то вроде этого horse-11.png?1554287941.png
или horse-11?1554287941.png
. Ваш $image
var должен только сохранять имя, таким образом вы можете сделать как то так:
<figure class="c-card__image c-card__image--arrow c-searchresult__image"style="background-image: url('{{$image}}?{{\Carbon\Carbon::now()->timestamp}}'.'png')"></figure>
и результат будет примерно таким
<figure class="c-card__image c-card__image--arrow c-searchresult__image" style="background-image: url('/vendors/57/horse-11?1554287941.png')"></figure>