Из примера говорится:
import InstagramLogin from 'react-native-instagram-login'
<View>
<TouchableOpacity onPress={()=> this.refs.instagramLogin.show()}>
<Text style={{color: 'white'}}>Login</Text>
</TouchableOpacity>
<InstagramLogin
ref='instagramLogin'
clientId='xxxxxxxxxx'
scopes={['public_content', 'follower_list']}
onLoginSuccess={(token) => this.setState({ token })}
onLoginFailure={(data) => console.log(data)}
/>
</View>
Это говорит о том, что токен будет находиться в состоянии вашего приложения (либо onLoginSuccess / Failure). Получите доступ к токену оттуда.