Полагаю, вы имеете в виду
array = [['dog','cat'],['hat','cap']]
и хотите печатать без кавычек и квадратных скобок.В этом случае
print(' '.join(array[0]))
должен выполнить эту работу.Обратите внимание на пробел в кавычках.
Как правило, рекомендуется не называть свои переменные (в данном случае «массив») после того, что уже является частью Python.Может быть, лучше выбрать что-то вроде
string_list = [['dog','cat'],['hat','cap']]