Чтобы обновить значение, вам нужно извлечь значения из сеанса и обновить его снова.
Чтобы сделать это, вам нужно сделать
$booking_info = $request->session()->get('bookingInfo');
Тогда вы получите массивназад.Обновите его как обычный массив
$booking_info["amount"] = 10; // anything you wanted
Если вам нужно снова включить его в сеанс, вы можете сделать это
$request->session()->put('bookingInfo', $booking_info);
РЕДАКТИРОВАТЬ
Если вам нужна возможность частичного обновления, вам нужно хранить его отдельно, как это.
$input = $request->all();
$request->session()->put('bookingInfo.name', $input['name']);
$request->session()->put('bookingInfo.orderId', $input['orderId']);
$request->session()->put('bookingInfo.amount', $input['amount']);