Аналитический поток по круговой геометрии

Question

У меня есть проблема, когда мне нужно сравнить аналитический и числовой поток вокруг круговой геометрии, определяемой как x ^ 2 + y ^ 2 = 0.5 ^ 2.

Поток определяется grad (u) .n, где я выбираю u_analytical для (x ^ 2 + y ^ 2, 0) в двух измерениях. N в формуле является нормалью поверхности круга, поэтому я думаю, что это (2x / sqrt (4x ^ 2 + 4y ^ 2), 2y / sqrt (4x ^ 2 + 4y ^ 2)). Так что мой поток только в направлении х (4x ^ 2 / sqrt (4x ^ 2 + 4y ^ 2) + 4y ^ 2 / sqrt (4x ^ 2 + 4y ^ 2)), но мое численное решение далеко от этого. Я делаю здесь какую-то фундаментальную ошибку?

Заранее спасибо.

Answer 1

Наверное, теперь я понял это после прочтения некоторых других похожих / похожих постов.Самый простой способ думать - это преобразование поверхностного интеграла потока \ int_S (grad (u) .n) dS в объемный интеграл \ int_V div (grad (u)) dV с использованием теоремы расхождения.Оттуда я знаю, что div (grad (u)) = 4, а dV - это площадь круга = pi * r ^ 2, что составляет 4 * pi * r ^ 2 - аналитический поток.