Все исправлено и работает как мечта сейчас.
Проблема была в том, что сайт, над которым я работаю, находится в папке «Temp», чтобы не расстраивать старый сайт. У меня была папка PHPMailer и Upload в подкаталоге, а не в главном каталоге сервера, поэтому так и должно быть -
require "/home/awolpm/PHPMailer/src/Exception.php";
require "/home/awolpm/PHPMailer/src/PHPMailer.php";
Также эта строка не нужна -
require 'class/class.phpmailer.php';
Папка для загрузки должна быть -
$path = '/home/awolpm/upload/"' . $FILES["attachment"]["name"];
move_uploaded_file($FILES["attachment"]["tmp_name"], $path);
Конечно, заставил меня немного почесать голову!
Последнее, что нужно сделать для этого, - создать всплывающее модальное окно при успешной отправке и вернуть отправителю электронное письмо с подтверждением.