Сначала вам нужно исправить эту ошибку :
От
<option value="{{$localite->id}}" {{ old('ville') == $localite->id ? {{ 'selected' }}>{{$localite->ville}}</option>
К
<option value="{{$localite->id}}" {{ old('ville') == $localite->id ? 'selected' : '' }} >
{{$localite->ville}}
</option>
Затем получение выбранного значения в контроллере:
$selected = $request->input('fk_localite');
//For example if selected item value was 123 now $selected is 123 .