Вы должны кодировать как кавычки, так и апостропы. Кавычки (") кодируются с использованием "
, а апострофы (') кодируются с использованием '
. Основной проблемой здесь являются кавычки, они могут все еще работать без кодирования апострофов, поскольку вы используете кавычки вокруг значений.
<connectionStrings>
<clear/>
<add name="Provider" connectionString="Data Source=.\SQLEXPRESS;AttachDbFilename="C:\Projects\Provider's.Tests\app_data\db.mdf";Integrated Security=True;User Instance=True" providerName="System.Data.SqlClient"/>
</connectionStrings>