Для сохранения текущей даты и времени в AsyncStorage вы можете использовать асинхронную функцию,
StoreDate = async () => {
await AsyncStorage.setItem('date', new Date());
};
Чтобы извлечь сохраненную дату,
retrieveDate = async () => {
const value = await AsyncStorage.getItem('date');
};