Попробуйте это
"select month(str_to_date(birthdate), '%Y/%m/%d')
from users
where month(str_to_date(birthdate), '%Y/%m/%d') = '$month'"
Здесь, я предполагаю, что ваш разделитель равен '/'. Пожалуйста, установите разделитель в соответствии с вашей строковой датой, т.е. 2013/05/04
или 2013,05,04
или 2013-05-04