Я разобрался в проблеме. Тег розетки маршрутизатора необходимо переместить под тег p-toolbar. Имея его там, где он был вызван, он не будет дочерним по отношению к родительскому компоненту домашнего экрана.
Как только я переместил расположение маршрутизатора в файл homescreen.html, он начал отвечать на событие (click).
Спасибо, guptarahul275, что нашли время ответить на мой вопрос.
<div class="ui-g-12 ui-md-10 ui-g-nopad">
<div class="ui-g-12">
<p-toolbar id="toolbarId">
<div class="ui-toolbar-group-left">
<button pButton type="button" label="New" icon="pi pi-plus" id="newBtn"></button>
<button pButton type="button" label="Edit" icon="pi pi-search" id="editBtn" class="ui-button-danger" (click)="handleEdit($event)"></button>
<button pButton type="button" label="Upload" icon="pi pi-upload" class="ui-button-success"
id="uploadBtn"></button>
<i class="pi pi-bars"></i>
<p-splitButton label="Save" icon="pi pi-check" [model]="items" styleClass="ui-button-warning"
id="saveBtn"></p-splitButton>
</div>
<div class="ui-toolbar-group-right">
<button pButton type="button" icon="pi pi-search" id="searchId"></button>
<button pButton type="button" icon="pi pi-calendar" class="ui-button-success"
id="calendarBtn"></button>
<button pButton type="button" icon="pi pi-times" class="ui-button-danger" id="exitBtn"></button>
</div>
</p-toolbar>
<router-outlet></router-outlet>
</div>
**router-outlet used to be here**
</div>