Вы можете попробовать что-то вроде
.div1, .div2 { background-color: tomato }
<div class="div1">
<button>
<div class="div2"></div>
</button>
</div>
Но лучше не вставлять div в кнопку
Вы также можете использовать для них тот же класс: (Я добавил границы / отступы такВы для наглядности)
button, div {padding: 10px; border: 2px solid blue;}
.red-bg {background: red;}
<div class="red-bg">
<button>
<div class="red-bg">123</div>
</button>
</div>