После большого количества времени, проведенного, и не в курсе последних изменений в более поздних версиях с 2.1 до 2.2.3.
Проблема в том, что несколько модалов пытались использовать одни и те же имена. Это можно исправить с помощью областей, как я реализовал в развилке вашего проекта.
https://codesandbox.io/s/vv0jqprpj0
Таким образом, добавив также ввод:
data-vv-scope="SCOPE"
И используя это для проверки полей
this.$validator.validate('SCOPE.*')
Дополнительное замечание: вы использовали v-show
в RegisterModal для отображения ошибок и v-if
в LoginModal - правильно использовать v-if