Вы должны взять массив из предыдущего состояния, клонировать его, изменить определенный индекс, а затем обновить состояние следующим образом:
score: prevState.score.map((value, index) => index === key ? value + 5 : value)
Если вы делаете это довольно часто, он довольно повторяющийся,Вы также можете абстрагировать это в помощника:
const lens = (key, cb) => obj => ({ ...obj, [key]: cb(obj[key]) });
const index = (index, cb) => array => array.map((v, i) => i === index ? cb(v) : v);
Используется как:
this.setState(lens("score", index(key, it => it + 5)));