Один из способов - настроить Rebus на использование Serilog, а затем использовать приемник Application Insights для передачи журналов в качестве телеметрии трассировки или событий.
Примерно так:
// global Serilog config
Log.Logger = new LoggerConfiguration()
.WriteTo.ColoredConsole()
.WriteTo.ApplicationInsights(...) //< fill in instrumentation key etc here
.CreateLogger();
// configure Rebus
Configure.With(activator)
.Logging(l => l.Serilog())
.Transport(t => t.UseInMemoryTransport(new InMemNetwork(), "logging-test"))
.Start();