Являются ли свободные монады аппликативными?

Question

Я думаю, что придумала интересный экземпляр "10000" * * zippy для Free.

data FreeMonad f a = Free (f (FreeMonad f a))
                   | Return a

instance Functor f => Functor (FreeMonad f) where
    fmap f (Return x) = Return (f x)
    fmap f (Free xs) = Free (fmap (fmap f) xs)

instance Applicative f => Applicative (FreeMonad f) where
    pure = Return

    Return f <*> xs = fmap f xs
    fs <*> Return x = fmap ($x) fs
    Free fs <*> Free xs = Free $ liftA2 (<*>) fs xs

Это своего рода самая длинная стратегия на молнии.Например, используя data Pair r = Pair r r в качестве функтора (таким образом, FreeMonad Pair является двоичным деревом с внешней меткой):

    +---+---+    +---+---+               +-----+-----+
    |       |    |       |      <*>      |           |
 +--+--+    h    x   +--+--+    -->   +--+--+     +--+--+
 |     |             |     |          |     |     |     |
 f     g             y     z         f x   g x   h y   h z

Я не видел никого, кто бы упоминал этот экземпляр раньше.Это нарушает какие-либо Applicative законы?(Конечно, это не согласуется с обычным Monad экземпляром, который является «заменой», а не «молнией».)

Answer 1

Да , похоже, это законно Applicative.Странно!

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *.из определений.Единственным хитрым является состав закон.

pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w)

Есть восемь случаев, чтобы проверить, поэтому пристегнитесь.

• Один случай с тремя Return s: pure (.) <*> Return f <*> Return g <*> Return z
  • Тривиально следует из ассоциативности (.).
• Три случая с одним Free:
  • pure (.) <*> Free u <*> Return g <*> Return z
    • Работая в обратном направлении от Free u <*> (Return g <*> Return z), вы получаете fmap (\f -> f (g z)) (Free u), поэтому это следует из закона функторов.

  • pure (.) <*> Return f <*> Free v <*> Return z
    fmap ($z) $ fmap f (Free v)
    fmap (\g -> f (g z)) (Free v)                  -- functor law
    fmap (f . ($z)) (Free v)
    fmap f (fmap ($z) (Free v))                    -- functor law
    Return f <$> (Free v <*> Return z)             -- RHS of `<*>` (first and second cases)
    QED
    

  • pure (.) <*> Return f <*> Return g <*> Free w
    • Немедленно сокращается до fmap (f . g) (Free w), что следует из закона функтора.
• Три случая с одним Return:

  • pure (.) <*> Return f <*> Free v <*> Free w
    Free $ fmap (<*>) (fmap (fmap (f.)) v) <*> w
    Free $ fmap (\y z -> fmap (f.) y <*> z) v <*> w                  -- functor law
    Free $ fmap (\y z -> fmap (.) <*> Return f <*> y <*> z) v <*> w  -- definition of fmap, twice
    Free $ fmap (\y z -> Return f <*> (y <*> z)) v <*> w             -- composition
    Free $ fmap (\y z -> fmap f (y <*> z)) v <*> w                   -- RHS of fmap, definition of liftA2
    Free $ fmap (fmap f) $ fmap (<*>) v <*> w                        -- functor law, eta reduce
    fmap f $ Free $ liftA2 (<*>) v w                                 -- RHS of fmap
    Return f <*> Free v <*> Free w                                   -- RHS of <*>
    QED.
    

  • pure (.) <*> Free u <*> Return g <*> Free w
    Free ((fmap (fmap ($g))) (fmap (fmap (.)) u)) <*> Free w
    Free (fmap (fmap (\f -> f . g) u)) <*> Free w                    -- functor law, twice
    Free $ fmap (<*>) (fmap (fmap (\f -> f . g)) u) <*> w
    Free $ fmap (\x z -> fmap (\f -> f . g) x <*> z) u <*> w         -- functor law
    Free $ fmap (\x z -> pure (.) <*> x <*> Return g <*> z) u <*> w
    Free $ fmap (\x z -> x <*> (Return g <*> z)) u <*> w             -- composition
    Free $ fmap (<*>) u <*> fmap (Return g <*>) w                    -- https://gist.github.com/benjamin-hodgson/5b36259986055d32adea56d0a7fa688f
    Free u <*> fmap g w                                              -- RHS of <*> and fmap
    Free u <*> (Return g <*> w)
    QED.
    

  • pure (.) <*> Free u <*> Free v <*> Return z
    Free (fmap (<*>) (fmap (fmap (.)) u) <*> v) <*> Return z
    Free (fmap (\x y -> fmap (.) x <*> y) u <*> v) <*> Return z        -- functor law
    Free $ fmap (fmap ($z)) (fmap (\x y -> fmap (.) x <*> y) u <*> v)
    Free $ liftA2 (\x y -> (fmap ($z)) (fmap (.) x <*> y)) u v         -- see Lemma, with f = fmap ($z) and g x y = fmap (.) x <*> y
    Free $ liftA2 (\x y -> fmap (.) x <*> y <*> Return z) u v          -- interchange
    Free $ liftA2 (\x y -> x <*> (y <*> Return z)) u v                 -- composition
    Free $ liftA2 (\f g -> f <*> fmap ($z) g) u v                      -- interchange
    Free $ fmap (<*>) u <*> (fmap (fmap ($z)) v)                       -- https://gist.github.com/benjamin-hodgson/5b36259986055d32adea56d0a7fa688f
    Free u <*> Free (fmap (fmap ($z)) v)
    Free u <*> (Free v <*> Return z)
    QED.
    

• Три Free с: pure (.) <*> Free u <*> Free v <*> Free w
  • В этом случае используется только случай Free / Free для <*>, правая сторона которого идентична правой стороне Compose * <*>.Так что это следует из правильности экземпляра Compose.

Для случая pure (.) <*> Free u <*> Free v <*> Return z я использовал лемму:

Лемма : fmap f (fmap g u <*> v) = liftA2 (\x y -> f (g x y)) u v.

fmap f (fmap g u <*> v)
pure (.) <*> pure f <*> fmap g u <*> v  -- composition
fmap (f .) (fmap g u) <*> v             -- homomorphism
fmap ((f .) . g) u <*> v                -- functor law
liftA2 (\x y -> f (g x y)) u v          -- eta expand
QED.

По-разному я использую функторные и аппликативные законы в предположении индукции.

Это было довольно забавно доказать!Я хотел бы видеть формальное доказательство в Coq или Agda (хотя я подозреваю, что проверка завершения / положительности может испортить его).

Answer 2

Для полноты картины я буду использовать этот ответ, чтобы расширить мой комментарий выше :

Хотя я на самом деле не записал доказательство, я считаю, чтоСлучаи смешанного освобождения и возврата закона композиции должны выполняться из-за параметричности.Я также подозреваю, что проще показать, используя моноидальное представление .

Моноидальное представление экземпляра Applicative здесь:

unit = Return ()

Return x *&* v = (x,) <$> v
u *&* Return y = (,y) <$> u
-- I will also piggyback on the `Compose` applicative, as suggested above.
Free u *&* Free v = Free (getCompose (Compose u *&* Compose v))

При моноидальном представлении закон композиции / ассоциативности:

(u *&* v) *&* w ~ u *&* (v *&* w)

Теперь давайте рассмотрим один из его смешанных случаев;скажем, Free - Return - Free one:

(Free fu *&* Return y) *&* Free fw ~ Free fu *&* (Return y *&* Free fw)

(Free fu *&* Return y) *&* Free fw -- LHS
((,y) <$> Free fu) *&* Free fw

Free fu *&* (Return y *&* Free fw) -- RHS
Free fu *&* ((y,) <$> Free fw)

Давайте посмотрим поближе на эту левую сторону.(,y) <$> Free fu применяется (,y) :: a -> (a, b) к значениям a, найденным в Free fu :: FreeMonad f a.Параметричность (или, более конкретно, свободная теорема для (*&*)) означает, что не имеет значения, делаем ли мы это до или после использования (*&*).Это означает, что левая сторона составляет:

first (,y) <$> (Free fu *&* Free fw)

Аналогично, правая сторона становится:

second (y,) <$> (Free fu *&* Free fw)

, поскольку first (,y) :: (a, c) -> ((a, b), c) и second (y,) :: (a, c) -> (a, (b, c)) одинаковы доДля повторной ассоциации пар имеем:

first (,y) <$> (Free fu *&* Free fw) ~ second (y,) <$> (Free fu *&* Free fw)
-- LHS ~ RHS

Другие смешанные случаи можно рассматривать аналогично.Для остальной части доказательства см. ответ Бенджамина Ходжсона .

Answer 3

Из определения Applicative:

Если f также является Monad, оно должно удовлетворять

• pure = return

• (<*>) = ap

• (*>) = (>>)

Таким образом, эта реализация нарушит применимые законы, которые говорят, что должен согласиться с Monad экземпляром.

Тем не менее, нет причины, по которой вы не можете иметь оболочку нового типа для FreeMonad, у которой нет экземпляра монады, но есть вышеупомянутый аппликативный экземпляр

newtype Zip f a = Zip { runZip :: FreeMonad f a }
  deriving Functor

instance Applicative f => Applicative (Zip f) where -- ...