Нет, фоновый поток не будет ждать окончания основного потока, он начнется немедленно. Если вы используете пул потоков, вашей задаче может потребоваться ожидание доступности потока, но это все.
Однако вы должны знать, что это может быть не очень хорошим решением, так как домен приложения, на котором работает ваш сайт asp.net, может быть переработан во время работы фонового потока. Это убьет фоновый поток, оставив задачу незавершенной. Если это возможно, вы должны разделить фоновую задачу на приложение-службу, которое выполняется в отдельном процессе. Это гарантирует, что задача не будет убита во время работы.