Обычно вы просто выходите из системы, в которой находитесь. Сеанс обычно основан на куки или теге, прикрепленном к URL в зависимости от настроек. Поэтому любой вход / выход из системы, который вы делаете, действительно влияет только на тот компьютер / браузер, который вы используете.
Выйти из системы со всех других компьютеров было бы немного сложнее, и я не могу вспомнить многих ситуаций, когда это было бы полезно.
Что касается функции запомнить меня - я бы сказал, что правильным поведением является продление срока действия с каждым посещением.