Прежде всего, исходя из описания вашего вопроса, я предполагаю, что ваше веб-приложение не имеет «Включить всегда».
By default, web apps are unloaded if they are idle for some period of time. This lets the system conserve resources. In Basic or Standard mode, you can enable Always On to keep the app loaded all the time.
Во-вторых, доступ к Key Vault должен вызываться из асинхронной задачи, поскольку в операции добавления может возникнуть задержка.
private async Task<string> GetKeyVaultSecretValue(varSecretParms) {
попробуйте что-то подобное и посмотрите, непомогает.