Если это поможет вам правильно установить заголовки, вот пример, который работает с использованием PHP.
$Post_Json = '{}';
$ch = curl_init();
curl_setopt($ch, CURLOPT_URL,$URL);
curl_setopt($ch, CURLOPT_PORT,443);
curl_setopt($ch, CURLOPT_HTTPAUTH, CURLAUTH_BASIC);
curl_setopt($ch, CURLOPT_HTTPHEADER, array("Content-Type: application/json"));
curl_setopt($ch, CURLOPT_HEADER, 0);
curl_setopt($ch, CURLOPT_USERPWD, "$username:$password");
curl_setopt($ch, CURLOPT_TIMEOUT, 30); //timeout after 30 seconds
curl_setopt($ch, CURLOPT_POST, 1);
curl_setopt($ch, CURLOPT_POSTFIELDS, $Post_Json);
curl_setopt($ch, CURLOPT_RETURNTRANSFER,1);
$result=curl_exec ($ch);
Это происходит от: https://schwarzsoftware.com.au/blogentry.php?id=19
Также убедитесь, что Data API включен в консоли сервера FileMaker Admin и включен для файла FileMaker, к которому вы пытаетесь получить доступ, и получите права доступа, включенные для этого пользователя в файле FileMaker.