Кажется, фокус удаляется из TextInput после каждого setState, вот обходной путь, который вы можете использовать:
Изменение
this.setState({
filterSearchText: text,
data: newData,
});
К
this.setState({
filterSearchText: text,
data: newData,
}, () => {
this.searchInput.focus();
});
Что он делает, так это возвращает фокус на searchInput после вызова setState