Насколько я знаю, нам нужно HTTPS-соединение для успешной установки и обновления PWA.
Да
Нужно ли обслуживать API через HTTPS для моего PWA?
Да, поскольку запросы от защищенных к незащищенным ресурсам часто блокируются браузером.
Возможно ли сделать запрос POST через HTTPS с использованием Ajax или Fetch API?
Да. Вам просто нужно ввести URL с https спереди вместо http.
Каковы ограничения PWA в этом случае?
Отсутствует.