Непроверенный MySQL-запрос для начала работы:
SELECT x.cat_ID, y.cat_ID, z.cat_ID
FROM categories y,
LEFT JOIN categories x ON y.parent = x.cat_ID,
LEFT JOIN categories z ON z.parent = y.cat_ID,
WHERE y.cat_name = ? AND
x.cat_name = ? AND
z.cat_name = ?