Вы можете использовать массив и помещать имена в массив.
state = {
cars: [],
}
Затем нажмите название автомобиля
addCar = () => {
this.setState({
cars: [...this.state.cars, this.state.CarName]
})
Для сохранения массива используйте JSON.stringify
AsyncStorage.setItem('CARS', JSON.stringify(this.state.cars))
Чтобы получить список, используйте JSON.parse.
const cars = await AsyncStorage.getItem('CARS');
console.log(JSON.parse(cars))