Вы можете проверить каждое пространство хранения - localStorage, cookie и indexedDB и добавить размер каждого из них.
Для localStorage перебрать его ключи и суммировать .length каждого значения.
Для файлов cookie просто установите флажок document.cookie.length.
Для indexedDB вы можете использовать navigator.storage.estimate().
Если выЕсли вы хотите проверить sessionStorage (который хранится в памяти, а не на жестком диске, в отличие от других), вы можете сделать это так же, как с localStorage.