Похоже, ваш ответ API возвращает объект клиента, который имеет адреса электронной почты, имя и фамилию.
Измените ваши интерфейсы следующим образом:
export interface Customer {
customer : CustomerDetails;
}
export interface CustomerDetails{
name: string;
surname: string;
emails: Array<Emails>;
}
export interface Emails {
address: string;
}