Вы можете сделать это с помощью одного соединения
$db = new mysqli($host,$user,$pass);
При выборе БД используйте это
mysqli_select_db('DB_NAME', $db);
Ваш код
$con1 = mysqli_connect("localhost","username","password");
/* For the DB1 */
mysqli_select_db('DB_NAME1', $con1);
$sql_1 = "insert into
enquiry(name,email,phone,subject,message,service_category)
values('aa','aa@gg.com','12344','xxx','ddd','ddd')";
$res_1 = mysqli_query($con1,$sql_1);
/* For the DB2 */
mysqli_select_db('DB_NAME2', $con1);
$sql = "insert into customers(cname,cphone,cemail)
values('$name','$phone','$email')";
$res = mysqli_query($con1,$sql);