если событие onsubmit не обрабатывается, то ваша форма не отправляется.
У вас есть одно из следующих в вашей форме?
<input type='submit' ... />
<input type='image' ... />
Два элемента выше при нажатии (или активации с пробелом / вводом) отправят форму. Затем обработчик события onsubmit должен перехватить его, а возвращаемое значение false должно остановить действие по умолчанию (изменение страницы).
Кроме того, ваш вызов ajax.Request фактически не использует какую-либо информацию о форме из самой формы. Ajax.Request необходимо знать, какую информацию отправлять.
редактировать
Вы использовали минус закрывающие скобки. используйте следующее
<form name="requestReservationForm" method="post" onsubmit="new Ajax.Request('admin/process/process_reservation_request.php', {onSuccess: function() {alert('Success');} , onFailure: function() {alert('Failure');}, method:'post', parameters:Form.serialize(this) }); return false;">