К-момент для экспоненциального распределения

Question

Я пытаюсь найти k-момент для экспоненциального распределения, используя характеристическую функцию, но когда я вычисляю первый, второй, третий момент, я не вижу никаких зависимостей.

Answer 1

Ну, вот быстрый набросок.Для экспоненциального распределения характеристическая функция равна

CF (t) = 1 / (1 - it / L)

Моменты могут быть вычислены как производные

E [X ^N ] = i ^-n d ⁿ / dt ⁿ CF (т) | _{t = 0}

Очевидно, что производная сделает мощность в знаменателе на 1 и переместит lambda

d ⁿ / dt ⁿ CF (t) = (i / L) ⁿ / (1 - it / L) ^{n + 1}

Так что поместите это в выражение моментов, я ⁿ отменяет i ^-n , когда знаменатель t = 0 равен 1. и что осталось

E [X ^N ] =L ^-n

Вы можете сравнить со статьей вики об экспоненциальном распределении, где среднее значение равно L ^-1 , а дисперсия L ^-2 .