Если пользователь не вышел из системы, пользователь не может знать, что пользователь закрыл свой браузер.
Вы можете просто позволить тайм-ауту сеансов естественно, например, после десяти минут бездействия.
В качестве альтернативы, вы можете добавить несколько js на страницу, чтобы регулярно отправлять запросы на сервер, чтобы поддерживать сеанс, пока открыто окно браузера.