Если все страницы имеют одинаковый JavaScript, то, возможно, вы могли бы проанализировать HTML-код, чтобы найти этот фрагмент кода, и из этого получить значение, которое будет установлен cookie?
Это сделало бы вашу очистку весьма уязвимой для изменений на стороннем веб-сайте, но чаще всего это происходит при очистке. (Имейте в виду, что стороннему владельцу веб-сайта может не понравиться то, что вы получаете контент таким способом.)