У вас почти ничего не было, но вы должны инициализировать свой массив, прежде чем заполнять его значениями:
void ApplyText()
{
var log = new string[3];
log[0] = "hhyyhy";
log[1] = "qwerty";
log[2] = "poiyu";
notification.text = log[Random.Range(0,3)];
}
или немного проще для чтения и более гибким в будущем (при добавлении, удалении записей):
void ApplyText()
{
var log = new []
{
"hhyyhy",
"qwerty",
"poiyu"
};
notification.text = log[Random.Range(0, log.Length)];
}