Как уже писал Норман, в Firebase нет оператора LIKE.
Я написал ответ в SO , который объясняет, как выполнить аналогичный запрос (даже если это поиск StartWith , а не полнотекстовый поиск):
databaseReference.orderByChild('_searchLastName')
.startAt(queryText)
.endAt(queryText+"\uf8ff")
.once("value")
Если вам нужны более продвинутые способы поиска, советуем использовать ElasticSearch в качестве возможного решения.