Во-первых, ваш шаблон должен поддерживать AM / PM, исходя из вашего примера, и, во-вторых, вам не нужно анализировать сейчас, поскольку вы хотите использовать его в качестве экземпляра LocalDate.
String input = "22/Apr/18 10:24 AM";
DateTimeFormatter dtf = DateTimeFormatter.ofPattern("dd/MMM/yy hh:mm a", Locale.ENGLISH);
LocalDate open = LocalDate.parse(input, dtf);
LocalDate now = LocalDate.now();
long diff = ChronoUnit.DAYS.between(open, now);