Есть много способов сделать это, один простой способ - привязать присвоение класса к какому индексу вы хотите быть активным.Возможно, что-то вроде этого:
<div class="carousel-inner">
<div *ngFor="let data of gallery; let i=index" [class]="(i === activeIndex) ? 'active' : 'inactive'">
<img src="{{ data }}" alt="{{ name }}">
<div class="container">
<div class="carousel-caption">
</div>
</div>
</div>
</div>
Где activeIndex - это переменная компонента, которую вы выбираете, которая является индексом элемента данных, который вы хотите активировать.
Или для более детального процесса выбора свяжите его сфункция JavaScript:
<div class="carousel-inner">
<div *ngFor="let data of gallery; let i=index" [class]="setClass(data, i)">
<img src="{{ data }}" alt="{{ name }}">
<div class="container">
<div class="carousel-caption">
</div>
</div>
</div>
</div>
А теперь в вашем компоненте:
setClass(data: DataType, i: number) {
let class: string = 'inactive';
/* more complex choice logic to set class = 'active' */
return class;
}