При загрузке файла вы можете использовать плагин path_provider , чтобы получить доступ к хранилищу устройства и сохранить свой файл там.
Я бы порекомендовал каталог документов, доступ к которому можно получить с помощью getApplicationDocumentsDirectory()
для сохранения вашего файла.
Вот идея сделать это.
String directory = (await getApplicationDocumentsDirectory()).path;
File file = File('$directory/your_file_name');
http.Response response = await http.get(your_url_here);
file.writeAsBytes(response.bodyBytes)