Чтобы соответствовать названию этого вопроса, значение атрибута id
:
var myId = $(this).attr('id');
alert( myId );
НО, конечно, элемент должен уже иметь определенный элемент id, как:
<option id="opt7" class='select_continent' value='7'>Antarctica</option>
В сообщении OP это было не так.
ВАЖНО:
Обратите внимание, что plain js быстрее (в данном случае):
var myId = this.id
alert( myId );
То есть, если вы просто сохраняете возвращенный текст в переменную, как в примере выше. Здесь нет необходимости в чудесности jQuery.