Если я изменю свои настройки DNS, потеряет ли мой веб-сайт Azure пользовательский домен, который ему уже присвоен?
Нет, проверка домена выполняется только в момент добавления URL на сайт. Не проверяется / перепроверяется на периодической основе. После добавления пользовательского домена на сайт он останется там, пока вы не удалите его вручную.
Вот ссылка, которая объясняет больше о сопоставлении существующего настраиваемого DNS-имени с веб-приложениями Azure:
https://docs.microsoft.com/en-us/azure/app-service/app-service-web-tutorial-custom-domain