В методе 1 int треугольный инициализируется каждый раз внутри цикла for. Вложенный в цикл вычисляет значение для треугольника, а затем вы печатаете значение
for (int i = 1; i <= 10; i++) {
int triangular = 0;
for (int j = 1; j <= i; j++) {
triangular = triangular + j;
}
System.out.println(i + " = " + triangular);
}
Но в методе 2 значение для x = 1 печатается в первой строке цикла while, а затем значение x увеличивается
int x =1;
int triangular = 1;
while(x<=10){
System.out.println(x+ "=" +triangular);
x++;
triangular= triangular+x;
}
Таким образом, в первом методе значение для треугольника вычисляется, начиная с 1, а во втором методе значение для треугольного рассчитывается не для первой итерации